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El impostor

Estad atentos. Dicen que un farsante anda suelto en este blog. No sabe nada de matemáticas. No os dejéis engañar. Sólo sabe contar historias malas. Se llama Carlos, aunque otros le conocen como Pichi, Carlis o Galián.

Besitos

La Aritmética vista como matemáticas de lo invariante por transformaciones

Si a cada número entero n le hacemos corresponder su número opuesto, es decir -n, tenemos una transformación que sólo deja invariante al 0.

Sin embargo, la relación de divisibilidad sí es invariante: si un número es múltiplo de otro, lo mismo ocurre con sus opuestos.

Esto nos sugiere que, si bien los números individuales no son invariantes, podemos asociar a cada número una estructura que sí lo sea.

En efecto, a cada número n se le puede asociar el conjunto de sus multiplos, que se denota por (n). Este conjunto se llama "ideal", porque como veremos es "casi" un número, en el sentido de que los podemos "sumar" y "multiplicar".

Es fácil comprobar que el conjunto de los opuestos de un ideal es el mismo ideal: (n) = (-n). Por tanto, los ideales, a diferencia de los números individuales, sí son invariantes.

Además, la relación de divisibilidad se traduce de una forma elemental en términos de ideales: n es múltiplo (divisor) de m, si el ideal (n) está contenido en (contiene a) el ideal (m).

Como hemos dicho, podemos sumar ideales:

(n)+(m) es el conjunto formado por todas las sumas de múltiplos de n y múltiplos de m.

Resulta que, ¡voila!, (n)+(m) = (MCD), MCD=máximo común divisor de n y m. Podemos pues definir el MCD de dos ideales como su suma.

Igualmente, podemos "multiplicarlos", es decir definir una operación de propiedades similares al producto, que se llama intersección:

(n)∩(m) es el conjunto de números que son múltiplos de n y también de m.

Resulta que (n)∩(m) = (mcm), mcm=mínimo común múltiplo. Podemos, por tanto, definir el mcm de dos ideales como su intersección.

El concepto de número primo es aplicable también a los ideales: un ideal (n) es primo cuando se verifica que un producto a.b pertenece al ideal sólo si alguno de los factores, a o b, pertenecen al ideal. Esto es equivalente a que n sea un número primo. Esta definición de ideal primo es aplicable a otros conjuntos de números más amplios que el de los enteros, en los que puede haber ideales que no sean los múltiplos de un número.

Los ideales en general, y los primos en particular, serán invitados frecuentes en este blog.

Según hemos visto, toda la divisibilidad se expresa de una forma mucho más sencilla en términos de ideales: contener, sumar e intersecar.

Éste es otro de los aspectos esenciales de las matemáticas: como arte del aprender, no sólo importa el qué aprender sino también el cómo; es necesario encontrar el lenguaje, las palabras, en el cual los enunciados y sus demostraciones adquieren la máxima simplicidad y evidencia.

Dicho de otro modo, encontrar las palabras adecuadas está en la esencia de las matemáticas, hasta el punto de que podríamos considerarlo una de sus definiciones.

En el principio era la palabra… (Jn 1,1)

Una definición de matemáticas

Las matemáticas son la conciliación entre Parménides y Heráclito: en un mundo caracterizado por los contínuos cambios o transformaciones (Heráclito), lo soprendente es que haya conceptos invariantes, lo único que según Parménides puede participar del ser.

Así pues, definiremos matemáticas como el estudio de espacios, de las transformaciones que ocurren en esos espacios y de lo invariante por esas transformaciones.

La física es la comprensión de los fenómenos observables, cualquiera que sea el modo de observación. En la física, los espacios y las transformaciones están determinados por nuestra capacidad de observación. En este sentido, la física son las matemáticas de lo fenomenológico, de lo observable. Sin embargo, cualquier espacio y grupo de transformaciones imaginable puede ser objeto de las matemáticas.

Pongamos algunos ejemplos:

1. Conceptos como triángulo, cuadrado, perímetro y área de un triángulo o de un cuadrado son invariantes para las transformaciones isométricas del plano (el espacio en este caso), formado por las traslaciones, las simetrías y los giros.
2. En cambio, si en el mismo espacio (el plano) consideramos un grupo de transformaciones más amplio, por ejemplo las transformaciones afines, que incluye también las homotecias, el concepto de triángulo o de cuadrado son invariantes, como lo eran respecto de las isometrías, pero el perímetro y el área ya no son invariantes: por ejemplo, en una homotecia de razón 2, un triangulo se transforma en otro que tiene un perímetro 2 veces mayor y un área 4 veces mayor.
3. La mecánica clásica o newtoniana es el estudio del espacio de 3 dimensiones y las transformaciones que dejan invariante el producto escalar de vectores v1.v2 = x1.x2+y1.y2+z1.z2, esto significa que el producto escalar de dos vectores debe ser el mismo que el de sus transformados . La energía o el momento lineal son conceptos fundamentales en física porque son invariantes respecto de esas transformaciones. A partir de estas premisas, resulta de forma necesaria la ley de la gravitación de Newton.
4. En cambio, la teoría de la relatividad especial es el estudio del espacio-tiempo de Minkowski, un espacio de 4 dimensiones en el que a las 3 dimensiones cartesianas se añade el tiempo como cuarta dimensión, y de las transformaciones que dejan invariante el siguiente producto escalar v1.v2=x1.x2+y1.y2+z1.z2-c^2.t1.t2, donde c es la velocidad de la luz. En este caso, la masa es un concepto definible en términos puramente matemáticos, y resultan de forma necesaria la ecuación de Einstein e=mc^2 o las ecuaciones de Maxwell del campo electromagnético.

Cómo nacieron las matemáticas

Preguntaba Carmen en su comentario a Pitágoras

...desde cuando se emplea el término matemáticas (designaba lo que hoy se ha “limitado” como geometría?) y si estaba vinculado efectivamente a la noción utilitaria?

Las matemáticas se originan, tanto en Mesopotamia como en Egipto, por necesidades prácticas de dos tipos: (a) recuentos de multitudes (magnitudes discretas), como censos de población, cobro de impuestos, etc. y (b) medición de superficies y volúmenes (magnitudes continuas).

Los griegos llamaron Aritmética al conjunto de conocimientos del primer tipo porque se refería al manejo de los números (aritmos), concepto limitado a lo que ahora llamamos numeros enteros.

La segunda disciplina se llamó Geometría (medida de tierras), por razones obvias. La medidas de longitudes, áreas y volúmenes eran "razones o proporciones numéricas" lo que ahora llamamos números quebrados, fracciones o números racionales.

El término matemáticas procede de la raiz máthēma, aprendizaje, estudio, y con el sentido de disciplina o actividad intelectual viene de mathēmatikḗ tékhnē , el arte del aprendizaje o del estudio.

Así pues, los matematikoi pitagóricos serían los estudiantes o aprendices.

La frase "el número es quien gobierna formas e ideas y es la causa de los dioses", que citabamos en la entrada sobre Pitágoras, viene a resumir la convicción pitagórica de que el aprendizaje verdadero (mathema) sólo puede conseguirse a través de la Aritmética y la Geometría, pero despojados del sentido utilitario que habían tenido hasta entonces.

Lo que pensamos, lo que conocemos, sólo será real si somos capaces de enunciarlo en términos numéricos.

En efecto, el pensar tiene 2 requisitos básicos: el tiempo, en el que vivimos inmersos, y la memoria, que es precisamente la toma de conciencia de que vivimos en el tiempo.

Sin tiempo sólo existiría el uno, por eso Dios sólo puede ser uno, porque en Él no puede haber tiempo ni mutación; pero si tenemos memoria, podemos pensar en lo uno y el recuerdo de lo uno: eso es el número 2; si tengo 2 cosas, además tengo otra cosa diferente que es el recuerdo de esas dos cosas, así tomamos conciencia del 3; y así vamos tomando conciencia de la serie infinita de los números naturales.

Los pitagóricos se desesperan al descubrir que geométricamente, es decir de un modo puro, se podía construir algo (una relación de longitudes) que no era un número ni una razón numérica. Era inaceptable porque creían cuestionado el principio de "todo es número", cuando lo que realmente significaba era que el concepto de número era más amplio que lo conocido hasta entonces.

En definitiva, Pitágoras es el primero en comprender que el conocer humano (el arte matemático, en su sentido original) no tiene otra finalidad que descifrar lo que Dios ha dejado escrito al crear el mundo y que eso lo ha escrito en lo que ahora llamamos términos matemáticos.

Pero la limitación del término matemáticas para referirse exclusivamente a la aritmética y la geometría, y sus ramas posteriores como el algebra y el cálculo infinitesimal, es relativamente reciente.

Platón, más de un siglo después de Pitágoras, pone en el frontispicio de su Academia (el jardin de Academos) "nadie entre aquí que no sepa geometría".

Aún en el siglo XVII, no hay todavía una separación clara entre la figura del matemático y la del filósofo. Tenemos muchos casos: Descartes, Pascal, Leibniz, Newton. Incluso Benito Spinoza, filósofo puro, utiliza el término geometría pero no el de matemáticas.

Posiblemente, sea Leonhard Euler (Basilea 1707, San Petersburgo 1783) el primer caso de un matemático en el sentido moderno del término, y uno de los más grandes de la historia.