El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitagoras es uno de los enunciados matemáticos de mayor influencia en la historia de la humanidad y sobre el que mayor número de demostraciones se conocen (367 se recogen en un libro sobre el tema). Actualmente, hasta una victima de la LOGSE es capaz de enunciarlo. Sin embargo, a poco que lo pensemos, no resulta nada evidente que, construyendo un cuadrado sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo,

el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa sea exactamente igual a la suma de las áreas de los otros dos.

Recíprocamente, si en un triángulo se verifica esta relación, necesariamente será rectángulo.

Es bastante verosímil que Pitágoras llegase a este enunciado tras reflexionar sobre los conocimientos geométricos adquiridos en Egipto, pues los egipcios conocían y utilizaban habitualmente un caso muy particular del teorema.

Las inundaciones anuales del Nilo borraban las separaciones entre parcelas o bancales. Para rehacerlas, se necesitaba una herramienta para dibujar angulos rectos. Esta consistía en una cuerda con 12 nudos igualmente espaciados. Formando un triángulo con ese tipo de cuerda, de forma que los lados tenga una longitud 3, 4 y 5 nudos, se consigue un triángulo rectángulo. El triángulo 3-4-5 (triángulo sagrado o egipcio) también fué utilizado en el diseño de la pirámide de Kefren.

La relación 5^2 = 4^2 + 3^2 se generaliza en el teorema de Pitagoras para toda triada (a, b, c) que represente las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo: a^2 + b^2 = c^2.

Entre las múltiples demostraciones del teorema de Pitágoras, hay una especialmente simple de origen chino (en China se denomina teorema de Gougu y en la India teorema de Bhaskara), basada en la sustracción de áreas. El gráfico siguiente ilustra esta demostración para el caso del triángulo 3-4-5:

Os propongo, como ejercicio, generalizar la demostración.

El teorema de Pitágoras ofrece un método para construir números irracionales (su expresión decimal se compone de un número infinito de dígitos, sin repetición periódica). Por ejemplo, la raiz cuadrada de 2 es la longitud de la hipotenusa de un triangulo rectángulo cuyos dos catetos miden 1. El pitagórico Hippasos fué el primero en probar que la hipotenusa de ese triangulo era inconmensurable (con ninguna unidad de medida se puede conseguir que su longitud sea un número entero entero de unidades o que divida a la unidad de medidad en un número entero de partes), dicho de otro modo, que su longitud era un número irracional. Pitágoras no pudo aceptar la existencia de un número no racional e Hippasos fué arrojado al mar y murió ahogado.

Las triadas (a, b, c) de números enteros que satisfacen la ecuación pitagórica a^2 + b^2 = c^2, como (3, 4, 5), (5, 12, 13) y (7, 24, 25), se denominan triadas pitagóricas.

Un hecho curioso es que, aparentemente, se utilizaran triadas pitagóricas en la construcción de varios monumentos megalíticos, como círculos, elipses o anillos ovalados, en el norte de Europa.

La tabla siguiente recoge las mediciones, en una unidad llamada yardas megalíticas (A. Thom,Megalithic Geometry in Standing Stones, New Scientist, March 12, 1964):

Side A	Side B	Side C	Remarks
3	4	5	3^2 + 4^2 = 5^2
5	12	13	5^2 + 12^2 = 13^2
12	35	37	12^2 + 35^2 = 37^2
8	9	12	8^2 + 9^2 = 12^2 + 1
11	13	17	11^2 + 13^2 = 17^2 + 1
38	49	62	38^2 + 49^2 = 62^2 + 1
28	30	41	28^2 + 30^2 = 41^2 + 3

Mientras los egipcios sólo utilizaban la primera triada, los constructores megalíticos parece que conocían bastantes más.

Mientras que la ecuación pitagórica, como acabamos de ver, tiene múltiples triadas enteras como solución, no sucede lo mismo para exponentes superiores: a^n + b^n = c^n, siendo n>2. El llamado Último Teorema de Fermat afirma que no existe ninguna triada de números enteros que satisfaga esa ecuación.

Pierre de Fermat anotó este enunciado en una edición de la Aritmética de Diofanto en 1637, añadiendo que tenía una demostración muy elegante pero que no cabía en el margen de ese libro.

Nunca se encontró esa demostración y la busqueda de alguna demostración del teorema de Fermat ha espoleado el desarrollo de las matemáticas, en especial de la teoría de números algebraicos, desde entonces hasta que Andrew Wiles publicó la primera demostración en 1995.